Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:
donde fn(x) es un polinomio de la forma
donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 1 se utiliza un polinomio de primer grado como una aproximación, mientras que en la Figura 2, se emplea una parábola con el mismo propósito.
La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Así, en la Figura 3, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton - Cotes. En esta sección sólo se analizarán las formas cerradas. En ellas, se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración.
Grado de precisión de una fórmula de integración numérica
El grado de precisión de una fórmula de integración numérica es el número natural n que verifica que el error de truncamiento E[Pi]=0 para todos los polinomios Pi(x) de grado i ≤ n, y existe un polinomio Pn+1(x) de grado n+1 tal que E[Pn+1]≠0.
A continuación, se explicarán las fórmulas que se obtienen cuando el grado del polinomio de aproximación es:
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de Newton - Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de aproximación es de primer grado:
Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a;f(a)) y (b;f(b)) es:
el área bajo esta línea recta en el intervalo [a;b] está dada por:
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Esta integral constituye una aproximación de la integral de f(x) en dicho intervalo. El resultado de la integral anterior es:
que se denomina regla del trapecio. Geométricamente, la regla del trapecio consiste en aproximar el área debajo de la curva definida por f(x), por el área bajo la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Recuerde que la fórmula para calcular el área de un trapecio es la altura por el promedio de las bases. |
Error de la regla del trapecio
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Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación del error de truncamiento E de la regla del trapecio es:
donde ξ Є (a;b). La expresión anterior indica que si la función a integrar es lineal, la regla del trapecio será exacta. Es decir, la regla del trapecio tiene grado de precisión n = 1. Además, sólo es posible aplicar la regla del trapecio si f(x) es de clase C2[a;b]. |
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La regla compuesta del trapecio
Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración [a;b] en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos. Las áreas de los segmentos se suman después para obtener una aproximación de la integral en todo el intervalo. Las expresiones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas.
La siguiente figura muestra el formato general y la nomenclatura que se usará para obtener integrales de aplicación múltiple.
Si hay n+1 puntos igualmente espaciados, existen n segmentos del mismo ancho:
Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará como:
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene:
o, agrupando términos:
El error que se comete al aplicar la regla compuesta del trapecio está dado por:
Esto significa que el error es de orden O(h2). Además, cuando las derivadas de f(x) se conocen, es posible estimar el número de subintervalos necesarios para alcanzar la precisión deseada.
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Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más precisa de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si se toma el punto medio del intervalo de integración [a;b], los tres puntos se pueden unir con una parábola. La fórmula que resulta de tomar la integral bajo ese polinomio se conoce como regla de Simpson. Es decir, la regla de Simpson se obtiene cuando el polinomio de aproximación es de segundo grado.
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Si a = x0, b = x2, se llama x1 al punto medio del intervalo [a;b] y f(x) se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:
Después de integrar y trabajar algebraicamente se obtiene:
donde h=(b-a)/2. Esta expresión se conoce como regla de Simpson y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton - Cotes.
Error de la regla de Simpson
Se puede demostrar que la aplicación de un solo segmento de la regla de Simpson tiene un error de truncamiento dado por la fórmula:
donde ξ Є (a;b). Así, la regla se Simpson es más precisa que la regla del trapecio. Además, en lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque el término del coeficiente de tercer grado se hace cero durante la integración de la interpolación polinomial. En consecuencia, la regla de Simpson alcanza una precisión n = 3 aún cuando se base en sólo tres puntos. En otras palabras, la regla de Simpson da resultados exactos para polinomios cúbicos aún cuando se obtenga de una parábola.
Cabe destacar que es posible aplicar esta regla si f(x) es de clase C4[a;b].
La regla compuesta de Simpson
Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño:
La integral total se puede representar como:
Al sustituir la regla de Simpson en cada integral se obtiene:
Una forma más compacta de escribir la expresión anterior es:
El error que se comete al aplicar la regla compuesta de Simpson está dado por:
Esto significa que el error es de orden O(h4). También, cuando se conocen las derivadas de f(x), es posible estimar el número de subintervalos necesarios para alcanzar la precisión deseada.
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De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:
para obtener:
donde h=(b-a)/3. Esta expresión se llama regla 3/8 de Simpson debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton - Cotes. |
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Error de la regla 3/8 de Simpson
Se puede demostrar que la aplicación de un solo segmento de la regla 3/8 de Simpson tiene un error de truncamiento E:
donde ξ Є (a;b). Como el denominador de la expresión del error de truncamiento, en este caso, es menor que el de la regla de Simpson, se puede concluir que la regla 3/8 de Simpson es menos precisa que la regla de Simpson.
En general, se prefiere la regla de Simpson, ya que alcanza una precisión n = 3 con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar.
Es posible aplicar la regla 3/8 de Simpson si f(x) es de clase C4[a;b].