El método de punto fijo

Un punto fijo de una función g: R → R es un número real r para el cual g(r) = r. Los problemas de búsqueda de raíces y los de punto fijo son clases equivalentes en el siguiente sentido:

• Dado el problema de hallar una solución r de la ecuación f(x) = 0, es posible definir una función g(x) que tenga a r como punto fijo.

• Si r es un punto fijo de la función g(x), entonces el número r es un cero de la función f(x) = x – g(x).

Para poder determinar si una función tiene un punto fijo, es necesario verificar el siguiente teorema que contiene las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de un punto fijo.

• Si g Є C[a, b] y g(x) Є [a, b] " x Є [a, b], entonces g tiene un punto fijo en ese intervalo.

• Si además existe g’(x) en (a, b) y existe una constante positiva k < 1 tal que |g’(x)| ≤ k " x Є (a b), entonces el punto fijo de f en [a, b] es único.

De esta manera, es posible definir una fórmula recursiva que permita aproximar el valor de la raíz r de la ecuación f(x)=0:

r_n+1 = g(r_n)  n ≥ 0

donde x₀ es la aproximación inicial.

Si se grafica los dos miembros de la ecuación x = g(x) como las funciones y = x e y = g(x), la raíz buscada r es la abscisa del punto de intersección de dichas funciones.

El proceso iterativo queda geométricamente representado por la siguiente figura, en donde se muestra un caso de convergencia.

Una condición suficiente pero no necesaria para la convergencia es la siguiente:

Sea g Є C[a, b] y g(x) Є [a, b] " x Є [a, b]. Si $ g’(x) en (a, b) y $ una constante positiva k < 1 tal que |g’(x)| ≤ k " x Є (a b), entonces para cualquier número r_o en [a, b], la sucesión definida por r_n = g(p_n-1) converge al único punto fijo p en [a, b].

Cota del error

Es posible determinar da una cota del error cometido en la aproximación n, conociendo una cota de la derivada.

Como se puede observar, la convergencia depende del factor kⁿ, donde k es una cota de la derivada primera. Cuanto más pequeño sea este factor, más rápida será la convergencia.

Orden de convergencia

Se puede demostrar que el error en la iteración n+1 está dado por:

donde puede observarse que si después de las primeras iteraciones ε_n tiene un valor pequeño, entonces ε_n², |ε_n³|,... serán valores más pequeños que |ε_n|, de modo que si g´(r)≠0, la magnitud del primer término de la expresión anterior generalmente domina las de los demás términos y ε_n+1 es proporcional a ε_n. En este caso, se dice que el método de punto fijo tiene una convergencia de orden uno. En cambio, si g´(r)=0 y g´´(r)≠0, la magnitud del segundo término es la que predomina sobre la de los términos restantes y ε_n+1 es proporcional a ε_n². Por lo tanto, el método tiene orden de convergencia dos. Si g´(r)=g´´(r)=0 y g´´´(r)≠0, el método tendrá una convergencia de orden tres y así sucesivamente.