Fenómenos naturales como el enfriamiento de un cuerpo, el crecimiento de poblaciones y la desintegración radioactiva, responden a un comportamiento exponencial.

Ejemplo 1. Enfriamiento de un cuerpo

La ley de Newton de enfriamiento de los cuerpos establece que si T_o es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un ambiente con una temperatura T_a grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es:

T(t) = T_a + (T_o - T_a) e ^{- a t}

donde a es una constante llamada la constante de enfriamiento. Esta constante es particular de cada cuerpo.

Ejemplo 2. Crecimiento de poblaciones

En 1798, Malthus propuso la siguiente ley de crecimiento de una población: si P_o es la población inicial, es decir, la existente cuando se comienza a contar, existe una constante de crecimiento k en cada población de manera que al cabo de un cierto tiempo t el número de individuos se expresa como:

P(t) = P_o e ^kt

Ejemplo 3. Desintegración radioactiva

En 1902 Ernest Rutherford y Frederick Soddy, sugirieron que el ritmo con que una sustancia radiactiva emitía partículas radiactivas disminuía exponencialmente con el tiempo. Esto se puede demostrar mediante la resolución de la ecuación diferencial que surge al plantear el hecho de que el número de núcleos que se desintegran en un intervalo de tiempo pequeño es directamente proporcional al tiempo y al número de núcleos existentes. Si N(t) es el número de núcleos radiactivos en un instante t, N_o es el número de núcleos iniciales, y l es la constante de desintegración, resulta

N(t) = N_o e ^{- kt}