Matriz de una transformación lineal

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V
® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.

Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

Ejemplos

ü Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a) ¿ Matriz A?

        Transformado de (1, 0) = (1, 0)
        Transformado de (0, 1) = (0, -1)  

     Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

b) ¿ Matriz B?

        Transformado de (1, 0) = (-1, 0)
        Transformado de (0, 1) = (0, -1)

     Entonces la matriz la matriz de la transformación es:


 

ü Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado 4 en polinomios de grado 2).

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

     Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
     Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
     Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
     Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
     Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es: