¿Qué es una transformación lineal?

 

 

 

 

 

 

 

 

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial.

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:

Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)
se dice una transformación lineal si, para todo a, b
Î V,
k
Π K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)

que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V
® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.

Ejemplos

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2 ® R3 /
" x Π R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y
Π R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x
Π R2, " k Π R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =
                                = k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal.

Ejemplo 2.
Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x
Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x
, y
Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2)
¹ T (x) + T (y)
                                          
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: Mn x n ® R / " v
Î Mn x n : T (v) = det(v)

Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kn det(A) ¹  k det(A), entonces esta transformación no es lineal.

Propiedades


ü Para toda transformación lineal T: V
® W, T (-x) = -T (x)

ü Para toda transformación lineal T: V
® W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )

üSea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V
® W tal que T (vi) = zi (1 i n)

Clasificación de las transformaciones lineales

Recordemos que las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser suryectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente,
 

Transformación suryectiva Transformación inyectiva Transformación biyectiva

 Se dice que:

ü
T: V
® W es un monomorfismo si, y sólo si, T es inyectiva. Es decir, T es un monomorfismo si y sólo si " u, v Î V: T(u) = T(v) Þ u = v.

üT: V ® W es un epimorfismo si, y sólo si, T es sobreyectiva. Es decir, T es un epimorfismo si y sólo si " w Î W, $ v Î V / w = T(v).

üT: V
® W es un isomorfismo si, y sólo si, T es biyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si y sólo si es un monomorfismo y un epimorfismo.

üT: V ® W es un endomorfismo si y sólo si V = W.

üT: V ® W es un automorfismo si y sólo si T es un isomorfismo y un endomorfismo.